Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х 2 , чертим(по точкам) прямую у=-рх-q. Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры: 1.Решить уравнение:4x 2 -12x+7=0 Представим его в виде x 2 =3x-7/4 . Построим параболу y=x 2 и прямую y=3x-7/4. Рисунок 1. Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x 1 =0.8 и x 2 =2.2 (см. рисунок 1). 2.Решить уравнение : x 2 -x+1=0 . Запишем уравнение в виде: x 2 =x-1. Построив параболу у=х 2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2. Проверим это.

Вычислим дискриминант: D =(-1)2-4 =-3 А поэтому уравнение не имеет корней. 3. Решить уравнение: x 2 -2x+1=0 Рисунок 3. Если аккуратно начертить параболу у=х 2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением). II) Системы уравнений.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны.

Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х 2 –2 –парабола, уравнения х 2 +у 2 =4 – окружность, и т.д.. Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а праваянуль.

Рассмотрим графический способ решения.

Пример1:решить систему x 2 +y 2 =25 (1) y=-x 2 +2x+5 (2) Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4): Построим в одной системе координат графи) х 2 +у 2 =25 и у=-х 2 +2х+5 Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы.

Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D (4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения: х1 -2,2 , у1 -4,5; х2 0, у2 5; х3 2,2 , у3 4,5; х4 4, у4 -3. Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными. III) Тригонометрические уравнения: Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически.

Рассмотрим графический способ решения на примере.

Рисунок5. Пример1: sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx. (рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2 п,где пЄZ и х= /2+2 k ,где k ЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6. Пример2:Решить уравнение: tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего.

Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х= п, пЄZ u x=2 k/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями) Применение графиков в решении неравенств. 1)Неравенства с модулем.

Пример1. Решить неравенство |x-1|+|x+1| . На интеграле( - 1;- ) по определению модуля имеем | х-1 |=-х+1,| х+1 |=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х 4,которое справедливо при х > -2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2 На интеграле (1;+ ) опять получаем линейное неравенство 2х 4, справедливое при х . Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений.

Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4. Рисунок 7. На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x) справедливо. Ответ:(-2;2) II )Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство а+х+ а-х >4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство 1+х + 1-х> 1. Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения.

Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1. Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1: Решить неравенство |х-а|+|х+а| 0 . Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций. Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b. Очевидно, что при b прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a| , то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)( рисунок 6 ) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2 так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a| расположена под прямой y=b. Ответ: Если b , то решений нет, Если b>2|a| , то x €(-b/2;b/2) . III) Тригонометрические неравенства: При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках.

Простейшие тригонометрические неравенства.

Функция sin x имеет положительный период 2 . Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a, sin x Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2 . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2 п, пЄZ. Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2 . (рисунок 10) Сначала решим это неравенство на отрезке[- /2;3 /2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [- /2;3 /2].Здесь уравнение sin x =-1/2 имеет одно решение х=- /6; а функция sin x монотонно возрастает.